Statistique et qualité de la donnée

économétrie : un "outil d'analyse quantitative"
prédire ou mesurer d'après des caractéristiques pouvant influer sur des résultantes
modéliser la réalité

établir une relation, une corrélation
entre des variables explicatives ou covariables (x = âge, x₂ = niveau de revenu, x_i, etc.)
et une variable à expliquer (y = taux de réussite aux examens)

pour vérifier une relation linéaire entre y et x :
y = β₀ + β₁x₁
β₀ = constante ("on l'appellera α")
β₁ = coefficient directeur
y = f(x_i,...,x_n;β_i,...,β_n)
x_n = variable pour 1 individu (n = nombre d'observations) avec x les variables ∀ i = 1

linéarisation

(TD sur Moodle)

le diagramme de dispersion/de corrélation (scatter diagram) est un outil de contrôle et d'aide à la décision pour vérifier l'existence d'une relation/corrélation entre variables quantitatives

tester des hypothèses pour :

• trouver l'origine d'un problème
• améliorer la performance
• etc.

Ici (sur le tableau du TD), la relation n'a pas une forme linéaire exacte (prédication précise de y)
y_i = βx_i + α
y ne dépend pas uniquement de x₁, x₂, etc.
il faut introduire de l'aléatoire : μ₁
y_i = βx_i + α + μ₁ (= terme d'erreur aléatoire avec E(μ₁) = α)
E = l'espérance ("c'est la moyenne en gros")
i = 1, 2, ... n avec n = le nombre de données
plus la valeur de μ est grande, moins le modèle est précis (et plus il est mauvais)
même chose pour la somme des carrés des résidus : si la SCR du modèle n°1 est inférieure à la SCR du modèle n°2, alors le modèle n°1 est plus précis que le n°2

si ces 5 hypothèses ne sont pas respectées, le modèle va être biaisé :

• E(μ_i) = 0 / l'espérance mathématique du terme aléatoire est nulle (en moyenne, modèle bien spécifié = erreur moyenne nulle)
• variance de l'erreur constante (hypothèse d'homoscédasticité de la variance de l'erreur)
• erreurs non corrélées ou indépendantes : une erreur à l'instant t n'a pas d'influence sur les erreurs à l'instant suivant
• erreur indépendante de la variable explicative (hypothèse d'absence d'endogénéité)
  "l'endogénéité est quelque chose d'extrêmement problématique en économétrie, elle ne peut jamais être réglée à 100%"
• si X_i différent de X_j, la covariance est nulle entre les variables exogènes (elles ne sont pas liées) = hypothèse d'absence de multicolinéarité entre les variables exogènes

différentes méthodes statistiques pour pouvoir calculer une probabilité d'un modèle linéaire :

• "nous ce qu'on fera, c'est ça :" la méthode des moindres carrés (MCO), pour minimiser la SCR
• dans les situations où la variable n'est pas continue, on va maximiser la vraisemblance ("ça on ne le développera pas")
• inférence bayésienne, "gardez ça à l'esprit mais on va explorer la chose différemment"

le critère des moindre carrés vise à minimiser la SCR :
résidu e_i : écart entre y_i (valeur réelle) et ȳ_i (valeur estimée)

erreurs (ou aléas) (μ_i) = déviation des valeurs observées par rapport aux valeurs issues de la vraie fonction (non observable)
résidus (e_i) = différence entre les valeurs observées et les valeurs issues de la fonction estimée

la covariance (Cov, ou 𝜎²_xy) sert à quantifier la liaison entre 2 variables 𝑋 et 𝑌, de manière à mettre en évidence le sens de la liaison et son intensité
-> mesure la tendance de x et y à être simultanément au-dessous ou en-dessous de leurs espérances respectives

• si Cov (𝑋,𝑌) > 0 : relation positive (lorsque 𝑋 est plus grand que son espérance, 𝑌 a tendance à être plus grand que sa propre espérance)
• si Cov (𝑋,𝑌) = 0 : absence de relation
• si Cov (𝑋,𝑌) < 0 : relation négative (lorsque 𝑋 est plus grand que son espérance, 𝑌 a tendance à être plus petit que sa propre espérance)

Correction de Bessel : en économétrie, il faut toujours diviser par n-1 (S_xy)
"on ne va pas revenir sur le pourquoi du comment, c'est chiant et laborieux"

la variance (S²_x ou S²_y)
permet de distinguer entre deux échantillons en moyenne identiques

écart-type (S_x ou S_y) : mesure la dispersion des valeurs d'un échantillon autour de sa moyenne
écart-type faible = valeurs regroupées autour de la moyenne

Corrélation de Pearson (𝑅) : mesurer la liaison linéaire existante entre deux variables quantitatives aléatoires
𝑅 = 𝜎²_xy ÷ (𝜎_x𝜎_y)

pour une répartition en courbe de Gauss :

• répartition à peu près symétrique autour de la moyenne (= loi normale)
• la majorité (95%) des valeurs sont dans un intervalle de confiance entre (moyenne de x moins deux écarts-type) et (moyenne de x + 2 écarts-types)
• 65% des valeurs sont dans l'intervalle (moyenne de x moins un écart-type) et (moyenne + un écart-type)

coefficient de détermination 𝑅² : pour le calculer, il faut utiliser la SCR

somme des carrés expliquée (SCE) = somme des carrés totaux (SCT) - SCR
plus SCR est petit, moins on a de problèmes => plus SCE sera grand

𝑅² = SCE divisé par SCT = 1 moins (SCR divisé par SCT)
permet d'expliquer dans quelle mesure la variance d'une variable explique la variance de la seconde variable : c'est la proportion de la variance des erreurs sur celle de la variable dépendante (y)

si les résidus représentent 100% de la valeur de l'écart entre y réel et y moyen, alors mon 𝑅 vaut 0%

hypothèse zéro (H0) = est-ce que β=0 ?

Statistique de Student : "on ne l'utilisera pas"
Intervalle de confiance : "c'est automatiquement calculé à 95%"
p-value (calculée par le tableur) : si elle est < 5%, on rejette H0 (si > 5%, on accepte H0)

plus la p-value est proche de 1, plus le résultat est dû au hasard
plus la p-value est proche de 0, moins le résultat est dû au hasard (plus le pouvoir prédictif de la variable explicative est élevé)

en économétrie, les seuils sont de 1% (1 chance sur 100 de se tromper)/5%/10% (1 fois sur 10)